VARIABEL ACAK

Variabel acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota Ruang Sampel S kebilangan Real. Dalam statistika variable acak disimbolkan dengan huruf kapital misalkan X, Y, Z dll. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit (hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

Variabel Acak Diskrit

Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

Contoh:

1. Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah koin (uang logam).
2. Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

Misal X adalah variable acak diskrit , maka fungsi kepadatan probabilitasnya adalah

PX (X) atau P(X=x)

Sifat-sifat Variabel Acak Diskrit:

variabel acak diskrit selalu bernilai tak negatif.

Jumlah dari variabel acak   sama dengan 1.

Distribusi Variabel Acak Diskrit :

 Distribusi Binominal

Hasil-hasil percobaan binomial dan peluang yang bersesuaian dari hasil tersebut dinamakan distribusi binomial.

Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal. Notasi-notasi yang umumnya digunakan dalam percobaan binomial dan distribusi binomial adalah sebagai berikut.

Notasi	Keterangan
P(S)	Simbol untuk peluang sukses.
P(F)	Simbol untuk peluang gagal.
P	Peluang sukes.
Q	Peluang gagal.
	P(S) = p dan P(F) = 1 – p = q
N	Banyaknya percobaan
X	Banyaknya sukses dalam n kali percobaan
Perhatikan bahwa 0 ≤ X ≤ n dan X = 0, 1, 2, 3, …, n.

Dalam suatu percobaan binomial, peluang untuk mendapatkan tepat X sukses dalam npercobaan adalah

2.      Distribusi Multional

Jika pada distribusi binomial hasil sebuah percobaan hanya dikategorikan 2 macam yaitu sukses dan gagal, maka distribusi multinomial akan membahas sebuah percobaan dikategorikan menjadi lebih dari 2 macam.

Peluang pada distribusi multinomial adalah sebagai berikut

P(x1,x2,…,xk)=n!x1!×x2!×…×xk!×(p1x1)(p2x2)…(pkxk)Px1,x2,…,xk=n!x1!×x2!×…×xk!×p1x1p2x2…pkxk

Nilai dari xi=0,1,2,…xi=0,1,2,…

xixi adalah jumlah kejadian BiBi (berhasil ke ii)

PiPi adalah kejadian berhasilnya Bi

3.      Distribusi Hipergeometrik

      Setiap percobaan statistik keluaran yang telah dihasilkan obyeknya selalu dikembalikan, sehingga probabilitas setiap percobaan peluang seluruh obyek memiliki probabilitas yang sama. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka obyek yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian selanjutnya, dapat dikatakan obyek tersebut tidak dikembalikan. Probabilitas kejadian suatu obyek dengan tanpa dikembalikan disebut sebagai distribusi hipergeometrik. Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

      a. sebuah pengambilan acak dengan ukuran n dipilih tanpa pengembalian dari N obyek

      b. k dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal.

Persamaan/rumus

·      Jumlah cara/hasil dari memilih nelemen dari N obyek adalah kombinas

     Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh xsukses dan (n–k) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari ksukses dan (N –k) gagal adalah

Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik

Mean (Nilai Harapan)                                                  

Varians                

Kemencengan (skewness

Keruncingan (kurtosis)

Dimana M = k

4.      Distribusi Poisson

Jika n pada distribusi binomial mendekati tak hingga (∞) maka distribusi binomial tersebut akan menjadi distribusi poisson.

Fungsi Padat Peluang

λ = rata-rata kejadian sukses setelah sekian kali percobaan

Rata-rata

E(X) = λ

Varian

Var(X) = λ

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi Karakteristik//

     Fungsi Pembangkit Peluang

      Gx(t) = eλ(t – 1)

Fungsi Massa Peluang

Misalkan X adalah variabel random diskrit, dimana fungsi peluangnya adalah P(X=x)=f(x)..Fungsi peluang f(x)f berlaku untuk semua nilai x yang mungkin, yaitu x1,x2 ⋯,sehingga P(X=xi)=f(xi),dimana i=1,2,⋯. Untuk nilai selain ,x, fungsi peluangnya adalah 0. Distribusi peluang diskrit biasa disajikan dalam bentuk tabel.

Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi peluang apabila memenuhi dua syarat berikut.

1.                  f(x)≥0.f(x)≥0.

2.                  ∑xf(x)=1,∑xf(x)=1, untuk semua nilai xx yang mungkin.

Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif variabel random diskrit X adalah F(x)=P(X≤x), dimana −∞≤x≤∞. Fungsi distribusi kumulatif F(x)memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

1.                  F(xj)≤F(xk)F(xj)≤F(xk) jika xj≤xk,xj≤xk,

2.                  limx→−∞F(x)=0limx→−∞F(x)=0 dan limx→∞F(x)=1,limx→∞F(x)=1,

3.                  limx→0+F(x+h)=F(x)limx→0+F(x+h)=F(x), untuk semua x.x.

Fungsi distribusi kumulatif F(x)F(x) dapat diperoleh melalui fungsi peluangnya, yaitu

F(x)=P(X≤x)=∑i=−∞xf(i)F(x)=P(X≤x)=∑i=−∞xf(i)

Contoh

Sebuah uang logam memiliki sisi Gambar (G) dan sisi Angka (A) yang seimbang. Misalkan X adalah banyaknya sisi A yang muncul apabila uang logam tersebut dilemparkan sebanyak dua kali. Tentukan fungsi peluang yang sesuai dengan variabel random X!

Ada empat kemungkinan hasil yang diperoleh dari pelemparan uang logam sebanyak dua kali. Keempat hasil tersebut diajikan dalam ruang sampel S={GG,GA,AG,AA}. Nilai-nilai variabel random X berdasarkan ruang sampel tersebut adalah 0,1 dan 2.

Titik Sampel	GG	GA	AG	AA
Xx	0	1	1	2

Nilai fungsi peluang f(x) untuk x=0,1,2 f(0)=14, f(1)=12 dan f(2)=14. Nilai untuk selain x adalah 0. Tabel fungsi distribusi peluangnya adalah sebagai berikut.

Xx	0	1	2
f(x)f(x)	1414	1212	1414

Fungsi distribusi peluang juga dapat disajikan seperti berikut ini.

f(x)= 0x=1x=2 lainnya f(x) = {14x=012x=114x=20lainnya

Fungsi distribusi kumulatif adalah sebagai berikut.

F(x)=−∞≤x<00≤x<11≤x<22≤x<∞ F(x)={0−∞≤x<0140≤x<1341≤x<212≤x<∞

Berikut ini adalah beberapa contoh distribusi peluang diskrit yang sering digunakan dalam pemodelan statistik.

1. Distribusi Bernoulli

pmf: f(x)=px(1−p)1−xx=0,1

cdf: F(x)=∑i=0xpi(1−p)1−ix=0,1

2. Distribusi Binomial

pmf: f(x)=(nx)px(1−p) n−xx=0,1,⋯,n 

cdf: F(x)=∑i=0x(ni)pi(1−p)n−ix=0,1,⋯,n

3.Distribusi Binomial Negatif

pmf: f(x)=(x−1k−1)pk(1−p)x−kx=k,k+1,k+2,⋯ 

cdf: f(x)=∑i=kx(i−1k−1)pk(1−p)i−kx=k,k+1,k+2,⋯ 

4. Distribusi Poisson

pmf: f(x)=exλxx!x=0,1,⋯ 

cdf: F(x)=∑i=0xeiλii!x=0,1,⋯ 

5. Distribusi Geometrik

pmf: f(x)=pk(1−p) x−1x=1,2,⋯ 

cdf: F(x)=∑x=0kp(1−p)x−1x=1,2,⋯

Variabel Acak Kontinu

Pengertian Distribusi Peluang Kontinu Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:

1. F(x) ≥ 0 untuk semua x є R

2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 ∞ 

3. 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑

Contoh:

1. Usia penduduk suatu daerah.
2. Panjang beberpa helai kain.

Dalam distribusi variabel acak diskrit, nilai peluang di salah satu variabel X atau P(X=x) mempunyai nilai tertentu, tetapi dalam distribusi variabel acak kontinu P(X=x)≈0 , sebagai contoh peluang seorang siswa mempunyai tinggi 160 cm bisa dibilang 0, karena kemungkinan tidak tidak yang tingginya 160,000… cm. Jadi dalam distribusi variabel kontinu peluangnya ditulis dalam bentuk interval seperti P(1≤x≤2)

Jadi penggunaan lambang keditaksamaan dalam peluang variabel acak kontinu ada sama dengannya atau tidak dianggap sama saja:

• P(X<2)=P(X≤2)
• P(3<x<5)=P(3≤x<5)
• P(X=a)≈0 a di ruang sampelnya (khusus untuk peubah acak kontinu)

Distribusi variabel acak kontinu sering disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (density function), bukan fungsi peluang. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1.Jadi f(x)f bukan peluang.

Syarat yang harus dipenuhi adalah

( i ) f(x)≥0

(ii) ∫∞−f(x)dx=1

   Integral seluruh fungsi kepadatan probabilitas f(x)=1

(iii) P(a<x<b)=∫baf(x)dx

Fungsi probabilitas kumulatif variabel acak kontinu

F(x)=p(X≤x)=∫x−∞f(x)dx

Nilai x dalam rumus ini harus kontinu dalam intervalnya.

Konsep dan Teorema Distribusi

1.      Distribusi Normal Distribusi

Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting:

a. Distribusi normal terjadi secara alamiah.

b. Beberapa variabel acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

c. Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi normal.

d. Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 dimana −∞ < 𝜇𝑥 < ∞ dan𝜎𝑥 > 0 jika fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah:

 𝑓𝑁 (𝑥; 𝜇𝑥 ,𝜎𝑥) = 1 𝜎𝑥√2𝜋 𝑒 − (𝑥−𝜇𝑥 ) 2 (2𝜎𝑥 2) , −∞ < 𝑥 < ∞ ........ (1)

Dimana:

 𝜇𝑥 = mean

𝜎𝑥 = deviasi standard

𝜋 = nilai konstan yaitu 3, 1416

𝑒 = nilai konstan yaitu 2,7183

Untuk setiap nilai 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥, kurva fungsi akan simetris terhadap 𝜇𝑥 dan memiliki total luas dibawah kurva tepat 1. Nilai dari𝜎𝑥 menentukan bentangan dari kurva sedangkan 𝜇𝑥 menentukan pusat simetrisnya. Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu. Maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai:

𝑓𝑁 (𝑥; 𝜇𝑥 ,𝜎𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓𝑁 (𝑡;𝜇𝑥 ,𝜎𝑥)𝑑𝑡 = ∫ 1 𝜎𝑥√2𝜋 𝑒 (𝑡−𝜇𝑥 ) 2 (2𝜎𝑥 2) 𝑑𝑡 𝑥 −∞ 𝑥 −∞........(2)

Untuk Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. Dengan menerapkan ketentuan diatas pada persamaan (1) maka fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z adalah:

𝑓𝑁 (𝑧;0,1) = 1 √2𝜋 𝑒 − 𝑧 2 2 , −∞ < 𝑧 < ∞ ...............(3)

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standard ini dinyatakan sebagai :

𝑓𝑁 (𝑧;0,1) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = Φ(𝑧) = ∫ 1 √2𝜋 𝑒 −𝑡 2 2 𝑑𝑡 𝑧 −∞ .......(4)

2.      Distribusi Student’s

Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil daru huruf terakhir kata “student”. Bentuk persamaan fungsinya:𝑓(𝑡) = 𝐾 1 + ( 𝑡 2 𝑛 − 1 ) 1 2

3.      Distribusi Chi-Kuadrat (𝝌 𝟐 )

Distribusi chi-kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistik inferensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk 𝛼 = 𝑣/2, dimana v adalah bilangan bulat positif dan faktor skala 𝛽 = 2. Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah: 𝑓𝜒 2(𝑥; 𝑣) = { 1 2 𝑣 2Γ( 𝑣 2 ) 𝑥 ( 𝑣 2 )−1 𝑒 − 𝑥 2 𝑥≥0

𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 Parameter n disebut angka derajat kebebasan (degree of freedom/df) dari X. Sedangkan fungsi distribusi kumulatif chi-kuadrat adalah: 𝑓𝜒 2(𝑥; 𝑣) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 1 2 𝑣 2Γ( 𝑣 2 ) 𝑡 ( 𝑣 2 )−1 𝑒 − 𝑡 2 𝑥 0 𝑑

Berikut ini diberikan rumusan beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi chi-kuadrat.

Mean (Nilai Harapan) : 𝜇𝑥 = 𝐸( ㄰) = 𝑣

Varians : 𝜎𝑥 2 = 2𝑣

Kemencengan (skewness) : 𝛽1 = 𝛼3 2 = 8 𝑣

Keruncingan (kurtosis) : 𝛽2 = 𝛼4 = 3( 4 𝑣 + 1)

4.      Distribusi F

    Menurut Gasperz (1989:251), secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai:

𝐹 = 𝑋1 2⁄𝑉1 𝑋2 2⁄𝑉2

Dimana :

𝑋1 2 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠

𝑉1 = 𝑛1 − 1 𝑋2 2 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠

𝑉2 = 𝑛2 − 1 Oleh karena itu sebaran F mempunyai dua derajat bebas yaitu 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2.

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x). Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.

Contoh :

           Jumlah mobil terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari

Jumlah mobil terjual dalam sehari	Jumlah hari
0 1 2 3 4 5	54 117  72  42  12     3
Total	300

                Distribusi Probabilitas Jumlah Mobil Terjual dalam Sehari

X	p(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01
Total	1,00

Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi.

1.    p(x)  0 atau 0  p(x)  1

2.     p(x) = 1

DISTRIBUSI PROBABILITAS KUMULATIF VARIABEL ACAK DISKRIT.

Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.

Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.

F(x) = P(X  x) = X  p(x)

Dimana

F(x) = P(X  x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.

Contoh :

               Probabilitas Kumulatif dari jumlah mobil terjual dalam sehari

X	F(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,57 (= 0,18 + 0,39) 0,81 (= 0,18 + 0,39 + 0,24) 0,95 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14) 0,99 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04) 1,00 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04 + 0,01)