Distribusi Peluang

      Pengertian Distribusi Peluang

Distribusi peluang adalah sebaran kemungkinan terjadinya variable acak tertentu. Variable acak adalah peristiwa yang diharapkan akan terjadi, yang biasanya dilambangkan dengan X. Atau, suatu bilangan yang ditentukan oleh peristiwa yang dihasilkan dari eksperimen.

Distribusi Peluang Untuk Variabel Diskrit

a)     Distribusi Binomial

          Yaitu distribusi peluang untuk variable random diskrit. Mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:                  

1.      Setiap percobaan bersifat independent atau dengan pengembalian.                                            

2.   Setiap percobaan tunggal menghasilkan dua kejadian (dikotomos) yaitu, gagal dan sukses. Sehingga, peluangnya hanya ada dua yaitu :

1. Peluang Sukses (p)

2. Peluang Gagal (q)

       Dimana jumlah p+q= 1.

       Jumlah sampelnya hanya sedikit, dimana sampelnya tidak lebih dari 30, yaitu 1 sampai dengan    30. 

Rumus :

Keterangan :

X = Variable acak (peristiwa) yang diharapkan akan terjadi.

x =  Banyaknya peristiwa yang diharapkan.

n = Banyaknya percobaan.

p = Peluang sukses yang dihitung dari satu kali percobaan.

q = Peluang gagal, dimana q=1-p.

b)    Distribusi Posisson

Yaitu distribusi peluang untuk variable random diskrit. Mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1.      Setiap percobaan bersifat independent atau dengan pengembalian.

2.  Setiap percobaan tunggal menghasilkan dua kejadian (dikotomos)yaitu, gagal dan sukses. Sehingga, peluangnya hanya ada dua yaitu :

·         Peluang Sukses (p)

·         Peluang Gagal (q) Dimana jumlah p+q= 1.

  Peluang sukses biasanya sangat sedikit.

  Ukuran sampel atau populasinya sangat besar. Yaitu n > 30

  Biasa disebut juga distribusi industri.

c)     Distribusi Hipergeometris

Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan 2 kejadian yang berkomplemen, seperti distribusi binomial.

Ciri dari Hipergeometrik :

Terdapat populasi sebanyak N dan terdapat sebanyak r kategori A. Dari populasi ini, diambil sebuah sampel acak berukuran n. Dari sampel berukuran n tsb akan diketahui peluang bahwa terdapat sebanyak x buah kategori A.

Rumus Distribusi Hipergeometrik

 

p(x)/h(x) = probabilitas x sukses dalam n percobaan

n             = jumlah percobaan

N            = jumlah elemen dalam populasi

r              = jumlah elemen dalam populasi yang sukses

b)     Distribusi Multinomial

Bila suatu percobaan binomial menghasilkan lebih dari dua kemungkinan seperti suka, tidak suka, cukup suka maka percobaan itu menjadi percobaan Multinomial.

Rumus Distribusi Multinomial

 

 

Contoh Distribusi Multinomial

Dadu seperti pada contoh 3 digelindingkan 3 kali.

a.Berapakah peluang mendapatkan 0 atau 1 sisi C 2 kali dan peluang mendapatkan 2 atau 3 sisi C 1 kali

b.Berapakah peluang mendapatkan 0 atau 1 sisi C 1 kali dan peluang mendapatkan 2 atau 3 sisi C 2 kali

  Penyelesaian

a.

b.

   Distribusi Peluang Untuk Variabel Kontinu

1)    Distribusi Normal

                Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu.  Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss.  Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di  bidang statistika.

Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut

dimana

π = 3,1416

e = 2,7183

µ = rata-rata

σ = simpangan baku

Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar

berikut.

Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:

1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu x

2. Bentuknya simetris pada x = µ

3. Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ

4. Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian

a. Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ

b. Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ

c. Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ

Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah.  Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit.  Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya. Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU. 

Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:

 

Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar berikut ini.

Gambar 2.  Kurva distribusi normal baku

Kurva distribusi normal baku lebih sederhana dibanding kurva normal umum.  Pada kurva distribusi normal baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan.  Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum.

Untuk keperluan praktis, para ahli statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika.  Tabel distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti masing-masing dengan nilai  dan S.

2)    Distribusi Student

             Adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi T sebagai uji statsistik, table

      pengujiannya disebut table T student.

      Ciri-cirinya adalah :

·         jumlah sample biasanya kurang dari 30 (n < 30)

·     Distribusi t-student seperti distribusi Z berbentuk genta atau lonceng dan simetris dengan nilai rata rata sama dengan 0

·       Distribusi t-student bukan merupakan satu kurva seperti kurva Z, tetapi keluarga dari distribusi t. setiap   distribusi t mempunyai rata-rata hitung sama dengan 0,tetapi dengan standar deviasi yang berbeda-beda,sesuai dengan besarnya sampel (n).

Rumus:

  

dimana :

t           : Nilai Distribusi t

µ          : Nilai rata-rata populasi

x bar    : Nilai rata-rata sampel

s           : Standar deviasi sampel

n          : Jumlah sampel

3)    Distribusi Chi Square

Chi square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi atau yang benar-benar terjadi atau aktual dengan frekuensi harapan. Yang dimaksud dengan frekuensi harapan adalah frekuensi yang nilainya dapat di hitung secara teoritis (e). sedangkan dengan frekuensi observasi adalah frekuensi yang nilainya di dapat dari hasil percobaan (o).

      Karakteristik Chi‐Square:

§  Nilai Chi‐Square selalu positip.

§ Terdapat beberapa keluarga distribusi Chi‐Square, yaitu distribusi Chi‐Square dengan DK=1, 2, 3, dst.

§  Bentuk Distribusi Chi‐Square adalah menjulur positip.Semakin besar derajat bebas, semakin mendekati distribusi normal.

§  df = k – 1, dimana k adalah jumlah katagori. Jadi bentuk distribusi chi square tidak ditentukan banyaknya sampel, melainkan banyaknya derajat bebas.

Rumus:

 

Dimana : 

χ2        : Nilai chi-kuadrat

fe         : Frekuensi yang diharapkan

fo         : Frekuensi yang diperoleh/diamati

4)    Distribusi Fischer

            Distribusi F merupakan distribusi probabilitas kontinyu. [1][2][3][4]Distribusi F juga dikenal dengan sebutan distribusi F Snedecor atau distribusi Fisher-Snedecor (setelah R.A. Fisher dan George W. Snedecor). Distribusi F seringkali digunakan dalam pengujian statistika, antara lainanalisis varians dan analisis regresi,distribusi ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.

Ciri-Ciri Distribusi F adalah:

·         Distribusi F tidak pernah mempunyai nilai negatif sebagaimana pada distribusi Z. Distribusi Z mempunyai nilai positif di sisi kanan dan negatif sisi kiri nilai tengahnya.

·         Nilai distribusi F mempunyai rentang dari tidak terhingga sampai 0. Apabila nilai F meningkat, maka distribusi F mendekati sumbu X, namun tidak pernah menyentuh sumbu X tersebut.

       Rumus:

           

Dimana :

F = Variabel acak yang memenuhi F>0

K = bilanan tetap yang harganya pada derajat kebebasan v₁ dan v₂

V₁  = Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)

V₂ = derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)

Luas dibawah kurva satu.

Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan

derajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang

diarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas dan

derajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :

F_0.05(24,8) = 3.12 dan F_0,01(24,8 )= 5.28.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95. Untuk ini digunakan hubungan :

Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v_1, v₂ ) menjadi (v₂, v₁).